블랙 숄즈 방정식

금융공학의 발전에 가장 핵심적인 기여를 한 것은 바로 1973년에 발표된 블랙숄즈(Black-Scholes) 방정식이다. 이 방정식은 일본 이토(Ito) 교토대 교수의 확률미적분 이론을 이용해 파생상품 옵션의 가격을 계산한 모델이다.

이토 교수는 공기 중에 피어오르는 연기나 물 위를 떠다니는 꽃가루와 같은 불규칙한 운동을 수학적으로 설명해 냈는데, 블랙숄즈 모델은 이토 이론을 응용한 특정한 방정식을 통해 옵션과 같은 금융상품의 가격결정 원리를 풀어냈다. 즉, 위험이 전혀 없는 차익거래는 불가능하다는 공리를 세우고 주식의 현물과 선물, 옵션 그리고 위험이 거의 없는 국채, 리보(런던 은행 간 거래 금리) 간 관계식을 세워 방정식을 유도해 옵션가격을 결정하는 방법을 정립했다. 이 과정에서 블랙숄즈는 물리학의 열 방정식을 기초로 확률론적인 방법으로 해(解)를 구했다고 한다.

이 모델이 등장한 이후 월가에는 수없이 많은 파생상품이 쏟아져 나왔고, 투자은행들은 한동안 천문학적인 수익을 올렸다. 1980년대에는 노벨상 수상자와 수학자, 물리학자 등이 직접 헤지펀드의 효시가 된 LTCM(Long-Term Capital Management)을 만들기도 했다.

숄즈는 파생상품을 발전시켜 금융의 영역을 크게 넓힌 기여로 97년 노벨경제학상을 받았다. (그러나 블랙은 안타깝게도 95년 암으로 사망해 사후에는 노벨상을 수여하지 않는 전통에 따라 수상하지 못했다. 대신 숄즈와 헤지펀드를 같이 만든 머톤 교수가 공동 수상했다.)

결국 블랙숄즈 방정식으로 파생상품의 가치평가가 가능하게 됐으며, 이에 따라 옵션을 부여한 상품도 세상에서 빛을 보게 된 것이다. 이 방정식 하나로 지난 십여 년간 월스트리트는 역사상 최대 호황을 누렸고, 미국은 세계의 금융 산업을 제패했었다. 그러나 역시 이론은 이론이다.

블랙-숄즈 옵션가격 결정 모형

* 블랙-숄즈 옵션가격결정 모형은 1973년 Black, Scholes, Merton에 의해 개발된 옵션의 공정가격 산출 모형임.
* 블랙-숄즈 옵션 공식은 기초자산 (𝑆), 행사가격 (𝑋), 무위험 수익률 (𝑟), 잔존기간 (𝑡), 기초자산의 변동성 (𝜎 )인 5가지 요인으로 옵션의 공정 가격을 설명하고 있음. 𝐶 = 𝑓(𝑆, 𝑋, 𝑟, 𝑡, 𝜎) 

* 블랙-숄즈는 가격결정 모형의 편미분 방정식을 풀기 위해 불가피하게 변동성을 일정한 상수로 가정하였음. 이로 인해 블랙-숄즈 모형으로 계산한 옵션의 이론 가격에는 시간에 따라 지속적으로 변하는 변동성 효과가 반영되지 못하였음.
* 𝑁[𝑑 1 ], 𝑁[𝑑 2 ] 계산 과정에서 기초자산의 수익률 분포는 정규분포를 따른다고 가정 하였음.
* 주가가 미세한 시간 사이에 연속적으로 변하는 연속적 시간 모형을 가정하고, 델타 헤지도 연속적으로 가능한 것으로 가정하였음.

 

Derivation of Black-Scholes equation 블랙-숄즈 방정식 유도과정.pdf

금융 데이터 사이언스_수요일강의_교재_최종본(조성현_강사님).pdf

블랙-숄즈 모형 도출과정의 개념적 이해.pdf

블랙-숄즈 방정식을 이용한 주식 가격의 예측.pdf